Координаты — числа, величины, по которым находится (определяется) положение какого-либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве M), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии.
В ряде разделов математики и физики координаты именуются по-другому, например координаты элемента (вектора) векторного пространства называются его компонентами, координаты в произведении множеств — проекции на один из его сомножителей, в теории относительности системы координат — это системы отсчета, и т. п.
Часто встречается ситуация, когда ввести достаточно разумные и удобные координаты глобально на всем множестве невозможно (например, точкам сферы в отличие от плоскости нельзя взаимно однозначно и непрерывно сопоставить пары чисел), и тогда вводят понятие локальных координат, например, в теории многообразий.
Множество координат организуется в систему координат (систему отнесения, систему референции), или карту, причем координаты взаимно однозначно соответствуют элементам множества M. В этом — основа метода координат, истоками которого принято считать работы юриста Пьера Ферма (1607 -- 1665) и философа Рене Декарта (1596 — 1650).
Впрочем, еще Аполлоний Пергский (2 век до н. э.) определял конические сечения с помощью того, что сейчас (следуя Лейбницу) называют координатами, хотя числовых значений они не имели. Но широта и долгота в «Географии» Птолемея (2 в. н. э.) были уже числовыми координатами.
В 14 веке французский математик Николай Орем (до 1330 -- 1382) пользовался координатами на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называется абсциссой и ординатой. Попытки обойтись без введения координат извне, сохранить, так сказать, «чистоту» теории, себя не оправдали (например, синтетические конструкции проективных координат, культивировавшиеся Карлом Штаудтом, оказалось возможным заменить простыми алгебраическими эквивалентами, что привело к понятию проективной геометрии над телом).
Впрочем не пропал вкус и, так сказать, к внутреннему способу введения координат, основанному на оценке положения координируемого объекта относительно некоторых, выбранных a priori стандартных подмножеств, например, линий, поверхностей и т. п. (называемых в этом случае координатными линиями, поверхностями и т. п.). Это в особенности относится к множествам, в определении которых участвуют числа (например, метрические и векторные пространства), т. е. к весьма обширному и практически важному классу математических объектов, чем и объясняется их широкое распространение.
Среди систем координат точек выделяют так называемые линейные координаты, в которых координатными линиями служат прямые. Таковы, например, декартова прямоугольная система координат, треугольные координаты, барицентрические координаты, проективные координаты.
Системы координат, для которых не все координатные линии прямые, называются криволинейными координатами. Такие координаты используются как на плоскости (например, полярные координаты, эллиптические координаты, параболические координаты, биполярные координаты), так и на поверхностях (геодезические координаты, изотермические координаты и другие). Многие специальные виды систем криволинейных координат вводятся при использовании сетей линий, отвечающих тем или иным условиям. Из них наиболее важный класс — ортогональные системы координат, в которых координатные линии пересекаются под прямым углом.
Различные виды координат на плоскости (или на поверхности) обобщаются на случай пространства. Например, понятие полярных координат на плоскости приводит к понятию полярных координат в пространстве (сферических координат и цилиндрических координат).
Иногда потребности удобства и наглядности приводят к отступлению от равенства количества чисел, являющихся координатами точек множества и его размерностью.
По тем же причинам допускается нарушение в отдельных точках взаимной однозначности координатного отображения (таковы, например, полярные координаты).
В тех случаях, когда изучаемое многообразие M негомеоморфно области евклидова пространства, бывает удобно использовать избыточные координаты, в которых число координат больше размерности М. Такие координаты, как правило, — однородные координаты.
Часто говорят о координатах прямых, плоскостей и других геометрических объектов, понимая под этим координаты в каком-либо пространстве, точками которого являются прямые, плоскости и т. д. (например, грассмановы многообразия, которые можно изучить в рамках нашего курса «Алгебраическая геометрия с нуля»).
Равноправие точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправие точек и плоскостей в геометрии трех измерений согласно двойственности принципу позволяют ввести координаты, с помощью которых могут быть определены положения прямых и плоскостей. Таковы, например, тангенциальные координаты.
Метод координат стал полезным не только на пути алгоритмизации рассуждений (сведению их к вычислениям), но и для обнаружения новых фактов и связей (так, например, непротиворечивость евклидовой геометрии посредством координат сводится к непротиворечивости арифметики). И хотя ряд разделов математики, например, риманова геометрия, может быть изложен в «бескоординатном» виде, конкретные результаты чаще добываются методом координат, а точнее, выбором удобных для данной задачи координатных систем.
Если Вы хотите больше узнать о математике и физике, приглашаем Вас в наш Телеграм-канал, ссылка в закреплённом комментарии!