Математический Анализ
Глава 1: Теория Пределов
§1. Введение
• Элементы теории множеств
• Отображения
• Введение действительных чисел
§2. Последовательности действительных чисел
• Понятие последовательности и примеры
• Свойства сходящих последовательностей
• Монотонные последовательности
• Подпоследовательности
• Критерий Коши
§3. Предел функции в точке. Непрерывные функции
• Предел функции в точке
• Исследование локального поведения функций
• Непрерывные функции
• Теорема Вейерштрасса о приближении
Глава 2: Производная и Интеграл
§4. Производная
• Определение и вычисление производной
• Основные теоремы: Ролля, Лагранжа, Коши
• Производные старших порядков
• Приложения производной
§5. Интеграл
• Неопределённый интеграл
• Методы интегрирования
• Определённый интеграл
• Формула Ньютона-Лейбница
• Предельный переход под знаком интеграла
• Приложения определённого интеграла
Глава 3: Ряды
§6. Числовые ряды
• Свойства сходящихся рядов
• Ряды с неотрицательными членами
• Сходимость рядов с произвольными членами
• Произведение рядов
• Бесконечные произведения
§7. Функциональные ряды
• Равномерная сходимость последовательности функций
• Равномерная сходимость функциональных рядов
• Степенные ряды
Глава 4: Анализ в нормированных пространствах
§8. Анализ в метрических пространствах
• Метрическое пространство и его топология
• Функции в метрических пространствах
• Компактность
• Теорема Банаха
§9. Дифференцируемые функции
• Производная по направлению
• Дифференцируемые функции
• Производные старших порядков
§10. Векторные функции от нескольких переменных
• Непрерывные отображения
• Дифференцируемые отображения
• Локальный относительный экстремум
Глава 5: Продвинутые интегралы
§11. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
• Несобственные интегралы первого порядка
• Несобственные интегралы второго порядка
• Равномерная сходимость интегралов
• β и Γ функции
§12. Кратные интегралы
• Двойные интегралы
• Замена переменных в двойном интеграле
• Приложения двойных интегралов
• Тройные интегралы
• Замена переменных в тройном интеграле
• Приложения тройных интегралов
§13. Криволинейные интегралы
• Криволинейные интегралы первого рода
• Криволинейные интегралы второго рода
• Формула Грина
• Независимость криволинейного интеграла от пути
§14. Поверхностные интегралы
• Поверхностные интегралы первого рода
• Поверхностные интегралы второго рода
• Формула Остроградского
• Формула Стокса
§15. Ряды и Интеграл Фурье
• Ряд Фурье по ортонормированной последовательности
• Ряд Фурье по тригонометрической последовательности
• Дифференцирование и интегрирование ряда Фурье
• Интеграл Фурье
Глава 1: Системы линейных уравнений
§1. Системы линейных уравнений
• Основные понятия
• Матрицы и СЛУ и элементарные преобразования
• Метод Гаусса
§2. Векторные пространства над R
• Понятие Векторного пространства и примеры
• Линейные подпространства и подмногообразия
• Линейно зависимые и независимые системы векторов
• Базис и размерность подпространства
• Ранг системы векторов, ранг матрицы
§3. Линейные отображения. Действия над матрицами
• Понятие линейного отображения и примеры
• Матрица линейного отображения
• Операции над матрицами
§4. Определитель
• Мотивировка понятия и простейший пример определителя
• Множество перестановок
• Определитель и его свойства
• Миноры. Разложение определителя
• Приложения определителя: Формула обратной матрицы, Формула Крамера, Метод окаймляющих миноров
Глава 2: Абстрактные векторные пространства
§5. Векторные пространства над полем F
• Понятие поля и поле Комплексных чисел
• Координаты вектора в различных базисах
• Изоморфизм векторных пространств
• Пересечение и сумма подпространств
• Прямая сумма подпространств
• Факторпространства
• Сопряженное пространство
§6. Билинейные и Квадратичные формы
• Билинейная форма и её матрица
• Симметричные и кососимметричные формы
• Квадратичная форма и её матрица
• Канонический вид квадратичной формы
• Вещественные квадратичные формы
• Положительно определенные формы и матрицы
Глава 3: Линейные операторы
§7. Линейные операторы
• Язык линейных отображений
• Алгебра линейных операторов
• Матрица оператора в различных базисах
• Определитель и след оператора
§8. Инвариантные подпространства
• Инвариантные подпространства
• Собственные векторы. Характеристический многочлен
• Критерий диагонализируемости
• Фактороператор
§9. Жорданова нормальная форма
• Теорема Гамильтона-Кэли
• ЖНФ
• Корневые подпространства
Глава 4: Пространства со скалярным произведением
§10. Евклидовы пространства
• Евклидовы пространства
• Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
• Изоморфизмы Евклидовых пространств
• Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
§11. Эрмитовы векторные пространства
• Определение Эрмитового пространства и простейшие примеры
• Ортогональность
• Унитарные матрицы
Часть 1: Геометрия на плоскости
Глава 1 Геометрия на плоскости
• ДСК на плоскости
• Векторы на плоскости
• Прямая на плоскости
Глава 2 Кривые второго порядка
• Эллипс
• Парабола
• Гипербола
• Приведение кривых второго порядка к каноническому виду*
Часть 2: Геометрия в пространстве
Глава 3 Геометрия в пространстве
• ДСК в пространстве
• Векторная алгебра
• Плоскость и прямая в пространстве
Часть 3: Поверхности второго порядка
Глава 4 Цилиндрические поверхности
• Эллиптический цилиндр
• Параболический цилиндр
• Гиперболический цилиндр
Глава 5 Поверхности вращения
• Эллипсоид
• Однополостный и двуполостный гиперболоид
• Эллиптический параболоид
• Гиперболический параболоид